Pynote

Python、機械学習、画像処理について

統計学 - 標本空間と事象について

用語

  • 標本空間 (sample space)
  • 事象 (event)
  • 標本点 (sample point)
  • 空事象 (impossible event)
  • 全事象 (sure event)
  • 和事象 (union of events)
  • 積事象、共通事象 (intersection of events)
  • 余事象 (complement)
  • 差 (difference)

標本空間、事象、標本点、全事象、余事象

ある試行または実験を行った場合の起こり得るすべての結果を含む集合を標本空間 (sample space) という。
標本空間の部分集合を事象 (event) という。
標本空間の元を標本点 (sample point) という。

コインを2回投げて表裏を観測するという試行の場合、標本空間 \Omega は以下のようになる。

\Omega = \{\omega_1, \omega_2, \omega_3, \omega_4\}

 \displaystyle
\begin{eqnarray}
\omega_1 &\Leftrightarrow& (1回目に表が出て、2回目に表が出る。) \\
\omega_2 &\Leftrightarrow& (1回目に表が出て、2回目に裏が出る。) \\
\omega_3 &\Leftrightarrow& (1回目に裏が出て、2回目に表が出る。) \\
\omega_4 &\Leftrightarrow& (1回目に裏が出て、2回目に裏が出る。)
\end{eqnarray}

1回目に表が出て、2回目に裏が出る事象
\{\omega_1\} \subset \Omega

1回目に表が出て、2回目に表または裏が出る事象
\{\omega_1, \omega_2\} \subset \Omega

1回目に表が出て、2回目に表と裏が同時に出る事象
\emptyset \subset \Omega

このように絶対に起こり得ない事象を空事象 (impossible event) という。

1回目に表または裏が出る事象
\{\omega_1, \omega_2, \omega_3, \omega_4\} \subset \Omega

このように必ず起こる事象を全事象 (sure event) という。

和事象、積事象、余事象、差、排反

和事象

事象 A, B \subset \Omega としたとき、A \cup B \subset \Omega和事象 (union of events A and B) という。


積事象

事象 A, B \subset \Omega としたとき、A \cap B \subset \Omega積事象 (intersection of events A and B) という。


余事象

事象 A \subset \Omega としたとき、A が起こらない事象を A余事象 (complement) といい、A^c で表す。
A^c = \{\omega \in \Omega; \omega \notin A\}


事象 A, B \subset \Omega としたとき、A \setminus B を事象 A と事象 B差 (difference) という。


互いには排反する

事象 A, B \subset \Omega としたとき、事象 A と事象 B の積事象が空事象 A \cap B = \emptyset であるとき、AB互いには排反する (mutually exclusive or disjoint) という。


性質

標本空間 \Omega の事象 A, B \subset \Omega について、次が成り立つ。
証明は標本空間は集合であるから、集合における性質と同じなので省略する。

交換則

 \displaystyle
A \cup B = B \cup A

 \displaystyle
A \cap B = B \cap A

分配則

 \displaystyle
A \cup (B \cap C) = (A \cup B) \cap (A \cup C)

 \displaystyle
A \cap (B \cup C) = (A \cap B) \cup (A \cap C)

 \displaystyle
(\bigcap_{i = 1}^n A_i) \cup B = \bigcap_{i = 1}^n (A_i \cup B)

 \displaystyle
(\bigcup_{i = 1}^n A_i) \cap B = \bigcup_{i = 1}^n (A_i \cap B)

ド・モルガン則 (De Morgan's law)

 \displaystyle
(A \cup B)^c = A^c \cap B^c

 \displaystyle
(A \cap B)^c = A^c \cup B^c

 \displaystyle
(\bigcup_{i = 1}^n A_i)^c = \bigcap_{i = 1}^n A_i^c

 \displaystyle
(\bigcap_{i = 1}^n A_i)^c = \bigcup_{i = 1}^n A_i^c

その他

 \displaystyle
A = (A \cap B^c) \cup (A \cap B)

 \displaystyle
\begin{eqnarray}
A \cup B &=& A \cup (A^c \cap B) \\
&=& B \cup (A \cap B^c) \\
&=& (A \cap B^c) \cup (A \cap B) \cup (A^c \cap B)
\end{eqnarray}

 \displaystyle
B \subset A \Rightarrow A \cup B = A

 \displaystyle
B \subset A \Rightarrow A \cap B = B